Нормальное ускорение. Тангенциальное, или касательное ускорение Изменение тангенциального ускорения
.Тангенциальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости тела по абсолютному значению, численно равная первой производной от модуля скорости по времени и направленная по касательной к траектории в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, и противоположно скорости, если она убывает.
4
Нормальное ускорение
.
Т
и
направлены
под прямым углом, то (рис. 1. 17)
,
(1.2.9)
5.Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости, численно равная первой производной угловой скорости по времени и направленная вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость, если скорость возрастает, и противоположно ей, если она убывает.
Формулу вставить (1.2.10)
СИ:
Полное ускорение
(линейное)
Угловое ускорение
Связь между угловыми характеристиками
вращающегося тела и линейными
характеристиками движения его отдельных точек
Р
СИ:
По истечении времени
точка А переместится в положение А 1 ,
пройдя расстояние
,
радиус-вектор повернется на угол
.
Центральный угол, опирающийся на дугу
,
в радианной мере равен отношению длины
дуги к радиусу кривизны этой дуги:
.
Это
остается справедливым и для бесконечно
малого интервала времени
:
.
Далее, используя определения, легко
получить:
;
(1.2.11)
Связь между линейными и угловыми характеристиками
;
(1.2.12)
.
(1.2.13)
1.1.2. Классификация движений. Кинематические законы
Кинематическими законами будем называть законы, выражающие изменение кинематических характеристик движения с течением времени:
Закон пути
или
;
Закон скорости
или
;
Закон ускорения
или
.
Н
Ускорение
Ускорение
гоночного автомобиля на старте
4-5 м/с
2
Ускорение
реактивного самолета при посадке
6-8
м/
c
2
Ускорение
свободного падения вблизи поверхности
Солнца 274 м/
c
2
Ускорение
снаряда в стволе орудия 10
5
м/
c
2
Нормальное ускорение несет информацию об изменении направления скорости, то есть об особенностях траектории движения:
-
движение прямолинейное (направление
скорости не меняется);
-
движение криволинейное.
Тангенциальное ускорение определяет характер изменения модуля скорости с течением времени. По этому признаку принято выделять следующие виды движения:
- равномерное движение (абсолютное
значение скорости не меняется);
-
ускоренное движение
-
неравномер- (скорость возрастает)
ное
движе-
-замедленное
движе
ние ние (скорость убывает).
Наиболее простыми частными случаями неравномерного движения являются движения, при которых
-
тангенциальное ускорение не зависит
от времени, остается постоянным во время
движения – равнопеременное движение
(равноускоренное или равнозамедленное);
или
- тангенциальное ускорение меняется с
течением времени по закону синуса или
косинуса – гармоническое колебательное
движение (например, грузик на пружине).
Аналогично для вращательного движения:
-
равномерное вращение;
-
неравномерное вращение
Типы движения записать более компактно
-равноускоренное
вращение
-
замедлен-
ное вращение;
-
равнопе-
ременное вращение
Крутильные колебания (например, трифилярный подвес – диск, подвешенный на трех упругих нитях, и совершающий колебания в горизонтальной плоскости).
Если известен один из кинематических законов в аналитической форме, то можно найти другие, при этом возможны два типа задач:
I
тип – по заданному закону пути
или
найти закон скорости
или
и
закон ускорения
или
;
II
тип – по заданному закону ускорения
или
найти закон скорости
или
и
закон пути
или
.
Эти задачи являются взаимно обратными и решаются на основе применения обратных математических операций. Первый тип задач решается на основе определений, то есть путем применения операции дифференцирования.
- задано
- ?
-
?
.
Второй тип задач решается путем интегрирования. Если скорость есть первая производная от пути по времени, то путь по отношению к скорости можно найти как первообразную. Аналогично: ускорение есть производная от скорости по времени, тогда скорость по отношению к ускорению – первообразная. Математически эти действия выглядят так:
-
приращение пути за бесконечно малый
промежуток времени
.
Для конечного интервала от
до
интегрируем:
.
По правилам интегрирования
.
Чтобы взять интеграл в правой части,
нужно знать вид закона скорости, то есть
.
Окончательно, для нахождения положения
тела на траектории в произвольный момент
времени получаем:
,
где (1.2.14)
-
изменение скорости за бесконечно малый
промежуток времени
.
Для
конечного интервала от
до
:
Перемеще́ние (в кинематике) - изменение местоположения физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Также перемещениемназывают вектор, характеризующий это изменение. Обладает свойством аддитивности.
Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse) - векторная физическая величина, характеризующая быстротуперемещения и направления движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта (например, угловая скорость).
Ускоре́ние (обычно обозначается , в теоретической механике ) - производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Рис.
1.10. Тангенциальное ускорение.
Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).
Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:
Сила. Масса. Законы Ньютона.
Си́ла - векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей. Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём деформаций.
Ма́сса (от греч. μάζα) - скалярная физическая величина, одна из важнейших величин в физике. Первоначально (XVII-XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства - вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям - масса эквивалентна энергии покоя).
Первый закон Ньютона
Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.
Второй закон Ньютона
В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.
Третий закон Ньютона
Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:
Импульс. Закон сохранения импульса. Упругие и неупругие удары.
И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:
Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.
В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.
Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, - однородность пространства.
Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.
При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).
Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.
Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.
При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.
4. Виды механической энергии. Работа. Мощность. Закон сохранения энергии.
В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.
Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.
Итак, кинетическая
энергия поступательно движущегося тела
равна половине произведения массы этого
тела на квадрат его
скорости:
Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы.
Так, для груза
весом P,
поднятого на высоту h,
потенциальная энергия будет равна E n =
Ph (E n =
0 при h =
0); для груза, прикрепленного к пружине, E n =
kΔl 2 /
2, где Δl -
удлинение (сжатие) пружины, k –
ее коэффициент жесткости (E n =
0 при l =
0); для двух частиц с массами m 1 и m 2 ,
притягивающимися по закону всемирного
тяготения, 
,
где γ –
гравитационная постоянная, r –
расстояние между частицами (E n =
0 при r →
∞).
Термин "работа" в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа - физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:
Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).
1 джоуль - это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину "мощность".
Мо́щность - физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.
Различают среднюю мощность за промежуток времени :
и мгновенную мощность в данный момент времени:
Так как работа является мерой изменения энергии, мощность можно определить также как скорость изменения энергии системы.
В системе СИ единицей измерения мощности является ватт, равный одному джоулю, делённому на секунду.
Зако́н сохране́ния эне́ргии - фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системыможет быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.
Координата (линейная, угловая).
2)Перемещение ( ) – вектор, соединяющий начальную точку траектории с конечной.
3) Путь () – расстояние пройденное телом от начальной точки до конечной.
4) Линейная скорость:
4.1) Мгновенная.
Скоростью (мгновенной скоростью) движения называется векторная величина, равная отношению малого перемещения к бесконечно малому промежутку времени, за которое это перемещение производится
В проекциях: U x =
4.2) Средняя
Средняя (путевая) скорость - это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:
Путевая скорость:
Средняя путевая скорость, в отличие от мгновенной скорости не является векторной величиной.
Можно также ввести среднюю скорость по перемещению , которая будет вектором, равным отношению перемещения ко времени, за которое оно совершено:
Скорость перемещения:
Средняя скорость в общем виде:
5)Линейное ускорение:
5.1) Мгновенная
Мгновенным ускорением называется векторная величина, равная отношению малого изменения скорости к малому промежутку времени, за который происходило это изменение:
Ускорение характеризует быстроту вектора в данной точке пронстранства.
5.2) Средняя
Среднее ускорение – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:
; 
Изменение скорости:
Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.
Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.
Направление вектора тангенциального ускорения τ) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.
Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n. Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.
Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:
Вопрос 2. Описание движения материальной точки (частные случи: равномерное движение по окружности, прямолинейное равномерное движение, равнопеременное движение по окружности).
Равномерное движение по окружности.
Равномерное движение по окружности – это простейший пример криволинейного движения . Например, по окружности движется конец стрелки часов по циферблату. Скорость движения тела по окружности носит название линейная скорость .
При равномерном движении тела по окружности модуль скорости тела с течением времени не изменяется, то есть v (вэ) = const, а изменяется только направление вектора скорости . Тангенциальное ускорение в этом случае отсутствует (a r = 0), а изменение вектора скорости по направлению характеризуется величиной, которая называется центростремительное ускорение а ЦС. В каждой точке траектории вектор центростремительного ускорения направлен к центру окружности по радиусу.
Модуль центростремительного ускорения равен
a ЦС =v 2 / R
Где v – линейная скорость, R – радиус окружности
Когда описывается движение тела по окружности, используется угол поворота радиуса – угол φ, на который за время t поворачивается радиус. Угол поворота измеряется в радианах.
Угловая скорость
равномерного движения тела по окружности – это величина ω, равная отношению угла поворота радиуса φ к промежутку времени, в течение которого совершён этот поворот:
ω = φ / t
Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду [рад/с]
Линейная скорость при равномерном движении по окружности направлена по касательной в данной точке окружности.
v = = = Rω или v = Rω
Период обращения
– это промежуток времени Т, в течение которого тело (точка) совершает один оборот по окружности. Частота обращения
– это величина, обратная периоду обращения – число оборотов в единицу времени (в секунду). Частота обращения обозначается буквой n.
n = 1 / T
T = 2π / ω
То есть угловая скорость равна
ω = 2π / T = 2πn
Центростремительное ускорение
можно выразить через период Т и частоту обращения n:
a ЦС = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
В кинематике для однозначного определения характеристик движения тела в любой точке траектории необходимо знать его скорость и ускорение. Зависимость от времени этих величин предоставляет всю необходимую информацию для вычисления пройденного телом пути. Рассмотрим подробнее в статье, что такое ускорение тангенциальное и нормальное ускорение.
В физике
Прежде чем рассматривать для механического движения ускорение нормальное и тангенциальное ускорение, познакомимся с самим физическим понятием. Определение ускорения является достаточно простым. В физике под ним понимают характеристику изменения скорости. Последняя является векторной величиной, определяющей быстроту изменения координат движущегося объекта в пространстве. Скорость измеряется в метрах в секунду (расстояние, пройденное за единицу времени). Если ее обозначить символом v¯, тогда математическое определение ускорения a¯ будет выглядеть так:
Это равенство определяет так называемое полное мгновенное ускорение. Мгновенным оно называется потому, что характеризует изменение скорости лишь в данный момент времени.
Если движение является равноускоренным, то есть в течение длительного времени ускорение не меняет своего модуля и направления, тогда можно записать следующую формулу для его определения:
Где Δt>>dt. Величина a¯ здесь называется средним ускорением, которое в общем случае отличается от мгновенного.
Ускорение измеряется в системе СИ в метрах в квадратную секунду (м/с 2).
Траектория движения и компоненты полного ускорения
Чаще всего тела в природе движутся по кривым траекториям. Примерами такого перемещения являются: вращение по своим орбитам планет, параболическое падение камня на землю, поворот автомобиля. В случае криволинейной траектории в любой момент времени скорость направлена по касательной к рассматриваемой точке траектории. Как при этом направлено ускорение?
Чтобы ответить на поставленный выше вопрос, запишем скорость тела в следующей форме:
Здесь u t ¯ - вектор скорости единичный, индекс t означает, что он направлен по касательной к траектории (тангенциальная компонента). Символом v обозначен модуль скорости v¯.
Теперь, следуя определению ускорения, можно провести дифференцирование скорости по времени, имеем:
a¯ = dv¯/dt = dv/dt*u t ¯ + v*d(u t ¯)/dt
Таким образом, полное ускорение a¯ представляет собой векторную сумму двух компонент. Первое и второе слагаемое называются нормальным и тангенциальным ускорением точки. Подробнее рассмотрим каждую из этих компонент.
Ускорение тангенциальное
Запишем еще раз формулу для этой компоненты полного ускорения:
Это выражение позволяет описать свойства величины a t ¯:
- Она направлена точно так же, как и сама скорость или противоположно ей, то есть по касательной к траектории. Об этом свидетельствует элементарный вектор u t ¯.
- Она характеризует изменение скорости по абсолютной величине, что отражает множитель dv/dt.
Эти свойства позволяют сделать важный вывод: для прямолинейного движения полное и тангенциальное ускорения - это одна и та же величина. В случае криволинейного перемещения полное ускорение всегда больше по модулю, чем тангенциальное. Когда рассматривают физические задачи на прямолинейное равноускоренное движение, то ведут речь именно об этой компоненте ускорения.
Ускорение нормальное
Рассматривая тему скорости, ускорения тангенциального и ускорения нормального, дадим характеристику последней величине. Запишем формулу для нее:
a n ¯ = v*d(u t ¯)/dt = v*d(u t ¯)/dL*dL/dt
Чтобы записать явно правую часть равенства, воспользуемся следующими соотношениями:
Здесь dL - это пройденный телом путь за промежуток времени dt, r - радиус кривизны траектории. Первое выражение соответствует определению скорости, второе равенство следует из геометрических соображений. Пользуясь этими формулами, получаем конечное выражение для нормального ускорения:
То есть величина a n ¯ не зависит от изменения скорости, как тангенциальная компонента, а определяется исключительно ее модулем. Нормальное ускорение вдоль нормали к данному участку траектории направлено, то есть к центру кривизны. Например, во время движения по окружности вектор a n ¯ направлен к ее центру, поэтому нормальное ускорение называют часто центростремительным.
Если за изменение абсолютной величины скорости ответственно ускорение тангенциальное, то нормальная компонента ответственна за изменение вектора скорости, то есть она определяет траекторию перемещения тела.
Ускорение полное, нормальное и тангенциальное
Разобравшись с понятием ускорения и с его компонентами, приведем теперь формулу, которая позволяет определить полное ускорение. Поскольку рассмотренные компоненты направлены под углом 90 o друг к другу, то для определения абсолютной величины их векторной суммы можно использовать теорему Пифагора. Формула для полного ускорения имеет вид:
a = √(a t 2 + a n 2)
Направление величины a¯ можно определить по отношению к вектору любой из компонент. Например, угол между a¯ и a n ¯ вычисляется так:
Учитывая приведенную выше формулу для модуля a¯, можно сделать вывод: при равномерном движении по окружности полное ускорение совпадает с центростремительным.
Решение задачи
Пусть тело движется по окружности радиусом 1 метр. Известно, что его скорость изменяется по следующему закону:
Необходимо определить ускорение тангенциальное и нормальное ускорение в момент t = 4 секунды.
Для тангенциального имеем:
a t = dv/dt = 4*t + 3 = 19 м/с 2
Для того чтобы найти модуль ускорения нормального, сначала следует вычислить значение скорости в заданный момент времени. Имеем:
v = 2*4 2 + 3*4 = 44 м/с
Теперь можно воспользоваться формулой для a n:
a n = v 2 /r = 44 2 /1 = 1936 м/с 2
Таким образом, мы определили все величины, которые требовалось найти для решения задачи.
Рассмотрим некоторые простейшие виды движения точки, часто встречающиеся в практике.
Равномерным движением точки называется движение ее с постоянной величиной алгебраической скорости или
где С - постоянная интегрирования.
Пусть в начальный момент времени положение точки М на траектории характеризовалось тогда и
Таким образом, при равномерном движении путь, проходимый точкой, линейно зависит от времени.
Равнопеременное движение точки
Равнопеременным движением точки называется такое движение ее, при котором алгебраическая величина тангенциального ускорения остается постоянной:
Если знак а совпадает со знаком скорости, то движение называется равноускоренным. При несовпадении знаков а и движение называется равнозамедленным. Из последнего равенства имеем:
где постоянная интегрирования. Если при то
Таким образом, при равномерном движении скорость линейно зависит от времени. Переписывая последнее равенство в виде:
где -постоянная интегрирования. Определяя из условия, что при находим
Таким образом, при равнопеременном движении путь, проходимый точкой, представляет собой квадратный трехчлен от t.
Круговое движение точки
Движение точки по окружности или круговое движение часто встречается в практике. Пусть точка М движется по окружности радиуса R против хода часовой стрелки (рис. 24). Отсчитывая дугу от некоторого начального положения точки, запишем ее через центральный угол в виде:
Алгебраическая скорость точки будет:
где - называется угловой скоростью точки и обозначается через со, размерность ее .
Используя понятие угловой скорости, запишем:
Отсюда, скорость точки в круговом движении равна произведению радиуса траектории на угловую скорость.
Тангенциальное ускорение точки равно:
где - называется угловым ускорением и обозначается через размерность его ,
Нормальное ускорение точки будет:
Так как оно направлено к центру окружности, то его часто называют центростремительным. Модуль полного ускорения точки равен
При равномерном движении точки по окружности Следовательно, касательное ускорение в этом случае отсутствует и имеется лишь постоянное по величине центростремительное ускорение.
При равнопеременном круговом движении
Физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки
Введение понятия равномерного и равнопеременного движения точки позволяет указать физический смысл тангенциального и нормального ускорения точки. Действительно, пусть тангенциальное ускорение всюду равно нулю:
Тогда, если то из последнего равенства имеем:
или движение точки совершается с постоянной по величине скоростью, т. е. точка движется равномерно.
Отсюда можно сделать вывод, что наличие тангенциального ускорения характеризует неравномерность движения точки по траектории. Пусть далее нормальное ускорение равно нулю:
Тогда, если то нормальное ускорение может тождественно равняться нулю только в случае, когда
или траектория точки есть прямая - движение прямолинейное.
Таки образом, отсутствие нормального ускорения в течение некоторого интервала времени свидетельствует о прямолинейности движения. Отсюда можно сделать вывод, что наличие нормального ускорения указывает на кривизну траектории.
Если одновременно тангенциальное и нормальное ускорения равны тождественно нулю, то движение точки будет равномерным и прямолинейным. Если только в отдельный момент времени тангенциальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что на графике функции этому моменту соответствуют экстремумы функции или ее точки перегиба. Если только в отдельный момент времени нормальное ускорение равно нулю, то это указывает на то, что в этот момент скорость движущейся точки равна нулю или радиус кривизны траектории равен бесконечности.
Загрузка...
